Про тетраэдр ABCD знаменито, что AB CD = AC

Нам даны соотношения сторон тетраэдра:

AB*CD = AC*BD = AD*BC. Либо, сгруппировав их по иному, имеем:

Для треугольников АВС и DBC с общей стороной ВС:

AB/AC=BD/DC. (1)

Для треугольников АВС и ABD с общей стороной АВ:

AC/BC=AD/BD. (2)

Для треугольников АВС и ADC с общей стороной АС:

AB/BC=AD/DC. (3)

Эти дела равны меж собой (дано).

Центр вписанной окружности треугольника лежит на скрещении биссектрис его внутренних углов, а биссектрисы разделяют противоположные стороны в отношении прилегающих сторон (свойство).

Причем это свойство имеет обратную силу, то есть, если прямая, проведенная из верхушки угла треугольника разделяет обратную сторону в отношении прилегающих сторон, то эта прямая - биссектриса

угла.

Если провести в наших треугольниках биссектрисы к общим граням, то

они пересекутся в точках, лежащих на этих гранях в силу соотношений

(1), (2) и (3):

AID и DIA - в точке Н, к примеру, а CID и DIC - в точке К. То же самое

и с иными биссектрисами.

Как следует, точки А,Н и D лежат в одной плоскости АНD и прямые AIA и DID пересекаются.

Точно так же в плоскости АСN лежат прямые AIA и CIC, которые пересекаются.

Прямые DID и CIC лежат в плоскости DCK, и также пересекаются.

Итак, прямые AIA и DID имеют общую точку.

А ровная CIC также имеет общую точку и с прямой AIA и с прямой DID,

но лежит в иной плоскости, как следует эта точка должна быть одной и той же общей точкой.

То же и с пересекающимися прямыми DID и ВIВ, которые лежат в

плоскости BMD.

Имеем четыре пары пересекающихся прямых (AIA и DID, AIA и CIC,

DID и CIC, DID и ВIВ), лежащих в 4 разных плоскостях (АНD,АСN,DCK и BMD соответственно).

Эти выводы справедливы для всех пар данных нам отрезков:

Если три либо более прямых,лежащих в различных плоскостях, попарно

пересекаются, то они имеют одну общую точку.

Как следует, данные нам отрезки пересекаются в одной точке.

Что и требовалось обосновать.