Характеристики вписанного угла. Формулировка и доказательство

Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается . Подтверждение : Пусть угол АВС - вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на душу АС. Докажем, что угол АОС =1/2 дуги АС.

Напомним некоторые определения

Определение:

Окружностью с центром в точке О и радиусом R нарекают множество всех точек плоскости, удаленных от точки О на расстояние R (см. Рис. 1).

Рис. 1

Часть окружности   величается дугой.

Дуга имеет угловое измерение.

Градусная мера дуги  равна градусной мере соответствующего центрального угла :

Осмотрим образцы:

Рис. 2

Определение

Угол, верхушка которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, величается вписанным.

 

Рис. 3

Задана окружность с центром О, верхушка А лежит на окружности, стороны АВ и АС угла пересекают окружность в точках В и С, угол  величается вписанным. Он опирается на дугу , эта дуга размещена внутри угла (см. Рис. 3).

2. Аксиома о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 4).

Рис. 4

Подтверждение:

Осмотрим несколько случаев.

Случай 1: точка О принадлежит лучу АС (см. Рис. 5).

Рис. 5

Обосновать, что 

Обозначим угол  через , тогда угол  также будет равен , так как треугольник  равнобедренный, его стороны ОВ и ОА одинаковы как радиусы окружности. Угол  является внешним для треугольника , внешний угол равен сумме 2-ух иных углов, не смежных с ним, получаем: , то есть угловое измерение дуги  есть . Таким образом, мы обосновали, что вписанный угол равен половине измерения дуги, на которую он опирается.

Случай 2: точка О лежит внутри вписанного угла  (см. Рис. 6).

Рис. 6

Обосновать, что 

Подтверждение сводится к предшествующему случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол  за  и тогда дуга  одинакова  (изъяснение см. случай 1). Угол  за , тогда дуга  одинакова  (объяснение см. случай 1). Вся дуга  одинакова:

Угол  в свою очередь, равен .

Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Случай 3: точка О находится вне вписанного угла (см. Рис. 7).

Рис. 7

Обосновать, что 

Подтверждение опять сводится к первому случаю. Проведем поперечник AD, обозначим угол  через , тогда дуга  (объяснение см. случай 1). Угол  обозначим через , тогда дуга  равна  (объяснение см. случай 1). Дуга  является разностью великой дуги  и дуги :

Вписанный угол  равен . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Итак, аксиома стопроцентно доказана, все случаи рассмотрены. И сейчас из этого вытекают главные следствия.

3. Следствия аксиомы о вписанном угле

Следствие 1:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, одинаковы меж собой (см. Рис. 8).

Рис. 8

Угол  равен , он вписанный и опирается на дугу , означает, дуга одинакова . Но на эту же дугу опираются много других углов, к примеру, углы  и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .

Таким образом, получаем:

Следствие 2

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 9).

Рис. 9

Аксиома о вписанном угле является ключом к подтверждению многих других теорем и к решению многих задач.

4. Теорема о хордах

Творение отрезков каждой из 2-ух пересекающихся хорд есть величина неизменная.

Рис. 10

Доказать, что 

Подтверждение:

Осмотрим треугольники  и  (см. Рис. 10). Данные треугольники сходственны по равенству 2-ух углов: одинаковы вертикальные углы  и ; вписанные углы  и  опираются на одну и ту же дугу . Выпишем соотношение подобия:

Применим свойство пропорции и преобразуем выражение:

, что и требовалось обосновать.