В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка М так, что

Превосходное условие, я даже сканер пошел присоединять :))) 

Светло, что СМ - биссектриса угла АСВ. 

Далее, АМ = 17, ВМ = 25 (это просто проверить, АВ = 42).

МК и МЕ - перпендикуляры из точки М на стороны угла АСВ, по условию МК = МЕ = 15.

Если внимательно поглядеть на треугольники АКМ и ЕВМ, то это - Пифагоровы треугольники (это - необязательно, АК и ЕВ можно вычислить просто по аксиоме Пифагора, просто так ошибиться сложнее :)) со гранями 8, 15, 17 и 15, 20, 25.

То есть АК = 8, ВЕ = 20.

Пусть СК = СЕ = х, тогда АС = х + 8, ВС = х + 20.

По свойству биссектрисы АС/ВС = 17/25

(х + 8)/(х + 20) = 17/25;

25*x + 200 = 17*x + 340;

8*x = 140; x = 35/2;

Площадь АВС проще всего сосчитать так - сумма площадей АКМ, МЕВ и 2-ух схожих треугольников МКС и МЕС.

S = 8*15/2 + 20*15/2 + (35/2)*15 = 60+150 + 262,5 = 472,5