Окружность радиуса 4 дотрагивается наружным образом 2-ой окружности в точке .

вот для вас набросок

Решение очень обычное - вся "хитрость" в том, что угол О1АО2 (меж пунктирными прямыми) равен 90 градусам. Дело в том, что О1А и О2А - биссеткриссы смежных углов (почему биссектрисы, - это понятно? обоснуйте), а сумма смежных углов 180 градусов. Ну, сумма половин смежных углов (то есть сумма угла О1АВ и угла О2АВ) дает 90.

Таким образом, трегольник О1АО2 - прямоугольный, и АВ - вышина к гипотенузе. 

Далее - очень полезное "заклинание" - желая и очень обычное. 

Вышина к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два, сходственные ему - и между собой тоже, окончательно. 

Поэтому

О1B/АВ = АВ/О2В;

О1B = АВ^2/O2B = 6^2/4 = 9;