Ребята, задачка по геометрии за 8-й класс. Один катет прямоугольного треугольника

Треугольник прямоугольный. Пусть в нём будут катеты а, b, гипотенуза с. По условию а = 13.

Применим  аксиому Пифагора:

с = а + b

с  b = 13

По формуле разности квадратов:

(с b)(с + b) = 169

Тогда творенье 2-ух чисел одинаково 169.

Осмотрим, как при помощи творенья 2-ух чисел получить 169.

Вероятны два варианта:

169 = 13 13 либо 169 = 1 169

Тогда множители могут быть одинаковы 13 и 13; 1 и 169; 169 и 1.

Получаются три варианта, три системы уравнений с двумя неизвестными, осмотрим эти системы:

1)

с b = 13

с + b = 13

Решим методом сложения:

2с = 26

с = 13, тогда b = 0

Данный ответ не подходит, b длина стороны треугольника, не может приравниваться 0.

2)

с b = 1

с + b = 169

Решим способом сложения:

2с = 170

с = 85

Тогда из первого уравнения: с  b = 1 b = с  1 = 85  1 = 84

Ответ: стороны треугольника а = 13; b = 84; с = 85.

Для данных сторон выполняется неравенство треугольника, потому таковой треугольник существует.

3)

с b = 169

с + b = 1

Такое невероятно для треугольника, так как сумма длин 2-ух сторон хоть какого треугольника всегда будет больше разности длин двух сторон треугольника. А в данном случае выходит напротив - сумма длин меньше разности длин.

Сделаем вывод, что ответ только один: а = 13; b = 84; с = 85.

Найдём периметр: Р = а + b + с = 13 + 84 + 85 = 182