Точка М удалена от каждой стороны прямоугольного треугольника на 5 см.

Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром. 
Расстояния от М до сторон треугольника - одинаковые по длине наклонные. Как следует, их проекции на плоскость треугольника также одинаковы, и одинаковы они радиусу вписанной в этот треугольник окружности.. 
Пусть данный треугольник будет АВС с прямым углом С.
 Тогда все отрезки из М, перпендикулярные его граням, одинаковы МН=5 см, а основание перпендикуляра МО из М к плоскости треугольника - центр вписанной окружности. 
Радиус вписанной окружности найдем по формуле:
r=(a+b-c):2,
где а и b- катеты, с - гипотенуза. 
Гипотенузу АВ найдем по т.Пифагора, и равна она 15 см (вычислить сможет каждый, желая можно устно найти, т.к. треугольник АВС имеет отношение катетов 3:4, и он - египетский) 
r=(12+9-15)^2=3 cм
Треугольник МОН - египетский, и
 МО=4 см
( можно проверить по т.Пифагора)