Координаты вершин пирамиды A (1; -2;1) В (3;1; -2) С (2;2;5)

Даны координаты вершин пирамиды:

A (1; -2;1) В (3;1; -2) С (2;2;5) D (-2;1;0).

Вычислить: 1) объем пирамиды.

Вектор АВ:    x      y   z

                        2     3   -3    Модуль (длина) = 22    4,690416.

Вектор АС:    x y      z

                       1  4  4    Модуль (длина) = 33 5,744563.

Вектор AД:    x y z

                      -3 3 -1    Модуль (длина) = 19 4,358899.

Объем пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов:        

(ABx1, y1, z1 ; ACx2, y2, z2 ; ADx3, y3, z3)= x3a1+y3a2+z3a3.

Здесь a1, a2 и a3 это результаты векторного произведения АВхАС.

Подставив координаты точек, получим:

                   x     y        z

AB*AC =  ( 24       -11   5).

      АД=   ( -3        3        -1).

Объём пирамиды равен:

V = (1/6)*24*(-3) + (-11)*3 + 5*(-1) = (1/6)*110 18,3333.

2) длину ребра AB - дана выше ;

3) площадь грани ABC одинакова половине векторного произведения АВхАС.  Выше получили: AB*AC =  ( 24       -11   5).

S(ABC) = (1/2)*(24 + (-11) + 5) = (1/2)722 (1/2)26,87006 13,43503.

4) угол меж ребрами AB и AD .

AB =    (2      3       -3),    AB = 22.

АД=   ( -3       3       -1),    AD = 19 .

Скалярное творенье одинаково 2*(-3) + 3*3 + (-3)*(-1) = -6 +9 +3 = 6.

cos(ABAD) = 6/(22*19) = 6/418   6/20,44505   0,29347.

Угол равен 1,272942 радиан либо 72,93421  градуса.