Биссектрисы внутреннего и наружного углов при верхушке С тупоугольного треугольника АВС
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине Ступоугольного треугольника АВС пересекают прямую АВ в точках L и M соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если
СL = СМ,
ВС = 5,
АС = 12.
1 ответ
Алексей Фезулин
Опишем окружность около треугольника АВС. Поперечник этой окружности лежит вне этого треугольника, так как угол lt;B - тупой (дано).
lt;MCL=90, как угол меж биссектрисами 2-ух смежных углов (свойство).
Означает lt;CLM=45 (так как CL=CM - дано).
Тогда lt;LAС+lt;LCA=45 (так как наружный угол ВLC равен сумме 2-ух внутренних, не смежных с ним). Умножим на 2 обе доли этого уравнения:
2lt;LAK+2lt;LCA=90 либо 2lt;BAC+lt;BCA=90. Но lt;BAC+lt;BCA=180-lt;ABC тогда lt;BAC+180-lt;ABC=90 либо lt;BАC=lt;ABC-90.
Проведем через точку А диаметр АК описанной окружности.
Тогда lt;АСК=90, как угол, опирающийся на поперечник.
lt;AКC=180-lt;AВC, так как опираются на одну хорду.
lt;KAC=180-lt;ACK-lt;AKC или
lt;KAC=180-90-180+lt;AВC или lt;KAC=lt;AВC-90.
То есть lt;KAC=lt;BАC. Это вписанные углы и дуги ВС и КС одинаковы.
Отсюда КС=ВС=5, как хорды, стягивающие равные дуги.
Тогда по Пифагору AK=(АС+СК) или АК=(12+5)=13.
Это поперечник. Означает радиус описанной окружности равен 6,5.
Ответ: R=6,5.
lt;MCL=90, как угол меж биссектрисами 2-ух смежных углов (свойство).
Означает lt;CLM=45 (так как CL=CM - дано).
Тогда lt;LAС+lt;LCA=45 (так как наружный угол ВLC равен сумме 2-ух внутренних, не смежных с ним). Умножим на 2 обе доли этого уравнения:
2lt;LAK+2lt;LCA=90 либо 2lt;BAC+lt;BCA=90. Но lt;BAC+lt;BCA=180-lt;ABC тогда lt;BAC+180-lt;ABC=90 либо lt;BАC=lt;ABC-90.
Проведем через точку А диаметр АК описанной окружности.
Тогда lt;АСК=90, как угол, опирающийся на поперечник.
lt;AКC=180-lt;AВC, так как опираются на одну хорду.
lt;KAC=180-lt;ACK-lt;AKC или
lt;KAC=180-90-180+lt;AВC или lt;KAC=lt;AВC-90.
То есть lt;KAC=lt;BАC. Это вписанные углы и дуги ВС и КС одинаковы.
Отсюда КС=ВС=5, как хорды, стягивающие равные дуги.
Тогда по Пифагору AK=(АС+СК) или АК=(12+5)=13.
Это поперечник. Означает радиус описанной окружности равен 6,5.
Ответ: R=6,5.
, оставишь ответ?
Похожие вопросы
-
Вопросы ответы
Новое
NEW
Статьи
Информатика
Статьи
Последние вопросы
Предприятие по производству с/хоз продукции на производство затратило 3527000 руб Валовый
Разные вопросы.
Математика, задано на каникулы. ВАРИАНТ 1004
НОМЕР 1,2,3,4,5,6,7,8.
Математика.
Имеются три конденсатора емкостью С1=1мкФ, С2=2мкФ и С3=3мкФ. Какую наименьшую емкость
Физика.
Из точки м выходят 3 луча MP MN и MK причём
Геометрия.
выпиши в свою тетрадь те правила этикета которые тебе не были
Разные вопросы.
Анна хорошо учится у неё много подруг свободное от учёбы время
Обществознание.
10) Килограмм конфет дороже килограмма печенья на 52 р. За 8
Математика.
Во сколько раз число атомов кислорода в земной коре больше числа
Химия.
Составить монолог от имени дневника двоечника 7-10 предложений
Русский язык.
Рассматривая литературный язык как сложное взаимодействие книжного языка и разговорного,В.И.Чернышёв горячо
Разные вопросы.
Облако тегов