Точка F- середина стороны AD квадрата ABCD, а O- точка пересечения

Создадим набросок. 

Пусть площадь АВСD=S. 

Тогда площадь прямоугольника KFDC=S/2, 

площадь СFD=S/4 ( диагональ CF разделяет прямоугольник напополам).

В АОD и СОD стороны АD=СD, ОD - общая, углы между одинаковыми гранями одинаковы (BD - биссектриса квадрата).

АОD= СОD.

АОF и DOF равнозначащи - у их общая вышина из О  и одинаковые основания АF=DF. 

Таким же образом равнозначащи DОМ и СОМ. Тогда  площадь DОF одной трети площади СFD. Площадь DOF=(S/4):3=S/12

Т.к. площади АОF и DOF одинаковы, площадь АОF=S/12

Сумма  площадей АОВ и FOD равна   

площади ABD без площади  АОF и одинакова S/2-S/12=5/12

 По условию эта сумма S5/12=65 см

1/12=65:5=13 см

Площадь АОВ=65-13=52 см