Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 3, 4 и 5.

Треугольник ABC, Медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Если продлить медиану AA1 за точку A1 (середину стороны BC) на расстояние, равное A1O, и полученную точку A2 (A1A2 = A1O) соединить с точками B и C, то фигура BOCA2 - параллелограмм (диагонали его делятся пополам в точке скрещения). Потому BA2 = CO.
Таким образом, треугольник BOA2 имеет стороны, одинаковые 2/3 от длин медиан (не главно, какая именно медиана одинакова 3, какая 4, и какая 5). Площадь этого треугольника BOA2 одинакова площади "египетского" треугольника со гранями 3,4,5, умноженной на (2/3)^2; то есть Sboa2 = (3*4/2)*(4/9) = 8/3;
С другой стороны, площадь этого треугольника равна 1/3 площади треугольника ABC, поэтому что медианы делят треугольник на шесть треугольников одинаковой площади, а площадь треугольника BOA2 одинакова площади треугольника BOC - и там и там половина площади параллелограмма BOCA2.
Потому площадь ABC одинакова 8.