Доказать что в треугольнике против большего стороны лежит великий угол

Собственно я бы доказывал это так. Вокруг треугольника можно обрисовать окружность. В ней все углы - это вписанные углы. Каждая из сторон подходит хорде. Большей хорде соответствует (в этой окружности) большая дуга - это очень легко доказать поворотом вокруг центра.
(Надобно так повернуть одну из хорд вокруг центра окружности, чтоб две хорды стали параллельны. И сразу видно, что большая хорда стягивает великую дугу)
Потому угол треугольника, лежащий напротив большей стороны опирается на великую дугу.  Остается вспомнить, как связаны вписанный угол и дуга, на которую он опирается.