обоснуйте, что четырехугольник - ромб, если его верхушками являются середины

В произвольном выпуклом четырехугольнике  - такой четырехугольник с верхушками в серединах сторон - параллелограмм, поскольку обратные стороны являются средними чертами в треугольниках, интеллигентных боковыми гранями и диагоналями. Потому стороны этого четырехугольника параллельны диагоналям начального четырехугольника, и - главно! - равны половинам диагоналей (ну, скажем, стороны 1 и 3 параллельны одной диагонали исходного четырехугольника и одинаковы её половине, а стороны 2 и 4 - иной).

Остается сказать, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Как следует, одинаковы примыкающие стороны рассмотриваемого параллелограмма - они одинаковы половине диагоналей. Потому он - ромб.

(Полупустой стакан равен полуполному. Потому пустой стакан равен полному :)))