Длины всех ребер четырехугольной пирамиды SABCD одинаковы. Периметр основания пирамиды равен

Длины всех рёбер четырёхугольной пирамиды SABCD одинаковы. Периметр основания пирамиды равен 16 см. Точки M, N, P, T, K, F - середины ребер SA, SB, SC, SD, DC и BC соответственно, O - точка скрещения AC и BD. Вычислите объем призмы MNPTOFCK.

РЕШЕНИЕ:

SABCD - верная четырёхугольная пирамида, так как все его рёбра одинаковы. В основании этой пирамиды лежит квадрат со стороной, одинаковой АВ = Р abcd / 4 = 16 / 4 = 4 см.
MNPTOFCK - наклонная призма, все рёбра которого одинаковы по 2 см. Стороны верхнего основания являются средними линиями боковых граней, стороны нижнего основания одинаковы половине сторон квадрата ABCD. Соответственно, в призме
MNPTOFCK в основаниях лежат квадраты, а боковые грани - ромбы.
Для того чтоб найти объём призмы, необходимо знать площадь основания и вышину призмы.
Верхнее основание призмы делит вышину SO данной пирамиды на две равные доли, так как в тр. АСS МР - средняя линия. К тому же тр. АСS - равнобедренный, прямоугольный, по тому следствию, что тр. АВС = тр. АСS по трём сторонам. В правильной четырёхугольной пирамиде вышина проецирется в центр основания, потому АО = ОС = DO = OB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая в гипотенузе, одинакова её половине, то есть АО = ОС = SO.
В тр. АВС: по т. Пифагора АС = V( 4^2 + 4^2 ) = 4V2 см ; AO = OC = AC/2 = 4V2 / 2 = 2V2 см ; SН = НO = SO/2 = AO/2 = 2V2 / 2 = V2 см.
V призмы = S ofck HO = 2 2 V2 = 4V2 см^3
Также можно увидеть, что V sabcd = S abcd SO / 3 =gt; 3V sabcd = S abcd SO
V призмы = S ofck HO = ( S abcd/4 ) ( SO/2 ) = S abcd SO / 8 = 3V sabcd / 8

ОТВЕТ: 4V2 см^3.