В треугольнике ABC проведены вышины AA1 и BB1. Чему равен угол

Из прямоугольных СВВ1 и  САА1 с общим острым углом С

  cos C=В1С:ВС=А1С:АС

По первой лемме о вышинах  

(Если в треугольнике ABC нет прямого угла, AA1 и BB1 его вышины, то А1В1С сходствен  ABC., т.е. если соединить основания 2-ух высот, то появляется треугольник, сходственный данному)

   А1В1С сходствен АВС. 

Случай 1) 

АВС остроугольный. Из подобия треугольников следует отношение: 

А1B1:АB=В1С:ВС=cosC

cosC= 23:4=3/2 угол С=30

2) 

 АВС тупоугольный и  угол С gt;90: 

по первой лемме о высотах А1В1С сходственен АВС.  

Косинус угла, смежного с углом С, равен

А1С:АС=В1С:ВС=cos ACA1 

cos ACA1=А1В1:АВ=23:4=3/2, угол АСА1=30,  

угол С=180-30=150

Таким же образом находится величина острого угла С в тупоугольном АВС, где тупой угол