В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре АА1, при этом АМ:МА1=3:1,

Для упрощения записей примем, что куб АВСDА1В1С1D1 - единичный, то есть его сторона равна 1.
Скрещивающиеся прямые прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек либо иными словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.
Означает MN и A1C - скрещивающиеся прямые.
Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между хоть какими 2-мя пересекающимися прямыми, которые параллельны начальным скрещивающимся.
Проведем прямую СР параллельно прямой MN. Угол А1СР - разыскиваемый угол.
NA=(АВ+ВN)=(1+1/4)=5/2 (по Пифагору).
NM=(NA+AM)=(5/4+9/16)=29/4 (по Пифагору).
CP=NM=29/4.
CA1=(2+1)=3 (диагональ куба).
А1Р=(MA1+MP)=(1/16+1/4)=5/4.
По аксиоме косинусов:
Cos=(CA1+CP-A1P)/(2CA1*CP) либо
Cos=(3+29/16-5/16)/(23*29/4)=(72/16)/(87\2)=9/87.
Ответ: Cos=9/87.

2-ой вариант решения - координатный метод.
Пусть куб единичный, то есть сторона его "а"=1.
Начало координат в точке С(0;0;0).
Точка N(0;1/2;0), точка М(1;1;3/4), точка А1(1;1;1).
Тогда вектор MN-1;-1/2;-3/4, его модуль
MN=(1+1/4+9/16)=29/4.
Вектор А1С-1;-1;-1, A1C=(1+1+1)=3.
Cos=(MN*A1C)/(MN*A1C) или
Cos=(1+1/2+3/4)/(87/4)=9/87.
Ответ: Cos=9/87.