У трикутнику АВС на середнй лн DЕ, паралелнй АВ, як на

В треугольнике АВС на средней линии DЕ, параллельной АВ, как на поперечнике построен круг, пересекающий стороны АВ и АС в точках М и N. Отыскать МN, если ВС = а, АС = b, АВ = с.

Сначала усвоим, что треугольник ABC - остроугольный (если он прямоугольный. то желая бы одна из точек M, N совпадет с какой-нибудь верхушкой, а если тупоугольный - M и N просто не будет, окружность будет пересекать стороны только в точках D и E)

Поначалу решим в лоб: можно отыскать все углы в треугольнике. Дальше, ввиду подобия треугольников, узнаем углы EDC и DEC. Так как треугольники ODN, OME равнобедренные, можно отыскать углы EOM и DON, а значит, и NOM. В конце концов, зная ON, OM и угол меж ними, по аксиоме косинусов найдется NM.

Попробуем воплотить.
cos A = (-a^2 + b^2 + c^2)/2bc
cos B = (a^2 - b^2 + c^2)/2ac

cos NOD = cos(180 - 2A) = -cos(2A) = 1 - 2cos^2 A
sin NOD = sqrt(1 - cos^2 NOD) = 2 sqrt(cos A - cos^2 A)

cos MOE = 1 - 2cos^2 B
sin MOE = sqrt(1 - cos^2 MOE) = 2 sqrt(cos B - cos^2 B)

cos MON = cos(180 - (NOD + MOE)) = -cos(NOD + MOE) = sin NOD sin MOE - cos NOD  cos MOE = 4 sqrt((cos A - cos^2 A)(cos B - cos^2 B)) - (1 - 2cos^2 A)(1 - 2cos^2 B)

MN = с/4 * sqrt(1 - cos MON)

При наличии некоторого терпения можно подставить заместо угла всё то, что насчиталось по ходу рассуждений, и получить "красивый" ответ
MN = c(a^2 + b^2 - c^2)/4ab

Сейчас попробуем угадать хорошее решение (без глумливых выкладок). a^2 + b^2 - c^2 - по аксиоме косинусов это 2ab cos C, так что MN = c * 2ab cos C / 4ab = c/2 * cos C. 
Вспомним, что угол, образованный секущими, пересекающимися вне круга, равен половине разности дуг, заключенных между гранями. Тогда C = (180 - MON)/2, MON = 180 - 2C. MN = 2 * OM * sin (MON/2) = 2 * c/4 * sin (90 - C) = c/2 * cos(C), ч.т.д.