Через середину K медианы BM треугольника ABC и верхушку A проведена ровная, пересекающая

Если продлить AB за точку B и отметить точку E, AB = BE; то, (так как AM = MC;) CE II BM; из подобия AMB и ACE ровная AK при продолжении до скрещения с EC в точке D поделит EC напополам. 
Вышло, что AD и CB - медианы в треугольнике ACE. 
То есть CP = CB*2/3; 
у треугольников ABC и APC - общая вышина из верхушки A к стороне CB.
Поэтому площадь треугольника APC
Sapc = S*2/3; (S - площадь ABC);
площадь треугольника AMB одинакова Samb = S/2;
а площадь треугольника AMK Samk = Samb/2 = S/4;
Отсюда S/Skpcm = 1/(2/3 - 1/4) = 12/5;