В прямоугольную трапецию ABCD (АВ перпендикулярна ВС и АD) вписана окружность.Диагонали

Характеристики трапеции: Треугольники, лежащие на боковых гранях, при скрещении диагоналей, равновесные.
Если в трапецию вписана окружность с радиусом R и она разделяет боковую сторону точкой касания на два отрезка - a и b, то R=a*b.
Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку скрещения диагоналей, делится заключительней пополам и равен  2*a*b/(a+b) (среднее гармоническое), где a и b - основания трапеции (формула Буракова).
Итак, площади треугольников АВМ и СМD одинаковы. R = CG*GD.
Заметим, что CG=FC и GD=HD как касательные из одной точки.
BF=BE=AE=AH = R.
Тогда CF = CG = BC R, а GD = HD = AD - R.  R = CG*GD = (BC R)*(AD - R). Отсюда R=(ADBC)/(AD+BC).
Вспомним: "Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку скрещения диагоналей, делится последней пополам и равен  2*a*b/(a+b) (среднее гармоническое), где a и b - основания трапеции (формула Буракова)".
Из этого характеристики лицезреем, что половина отрезка (в нашем случае это  отрезок КМ) будет одинакова ВС*AD/(BC+AD), то есть КМ = R.
Отсюда Sabm = (1/2)*AB*KM = (1/2)*2*R*R = R, откуда R=S.
Ответ: R = S.