Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, разделяет его высоту, проведенную к

Дан треугольник АВС: АВ=ВС. O- центр вписанной окружности ВО=34 см, ОН=16 см.
ВН - вышина равнобедренного треугольника. ВН=50 см
К, Т.Н- точки касания окружности со гранями треугольника.
ОК,ОН,ОТ - радиусы вписанной окружности

Отыскать  площадь треугольника.

Решение.
Высота равнобедренного треугольника является и биссектрисой и медианой.
Означает АН=НС
Угол АВН равен углу СВН.
Треугольники КВО и ВОТ одинаковы меж собой по катету (ОК=ОТ) и острому углу.
Из равенства треугольников ВК=ВТ
По теореме Пифагора ВТ=ВО-ОТ=34-16=(34-16)(34+16)=1850=900
ВТ=30 см
ВК=ВТ=30 см

Центр вписанной окружности- точка скрещения биссектрис.
Треугольник равнобедренный, угол А равен углу С.
Биссектрисы АО и СО разделяют эти углы пополам.
Углы КАО, НАО, ТСО, НСО равны меж собой.
И треугольники КАО, АОН, НОС, СОТ одинаковы меж собой по катету и острому углу.
ОК=ОН=ОТ= r - радиусу вписанной окружности.

Из равенства треугольников АК=АН=НС=СТ= х

Рассмотрим треугольник АВН.
По аксиоме Пифагора АВ=АН+ВН
(30+х)=х+50
900+60х+х=х=2500,
60х=1600
х=80/3

АН=80/3


S=1/2 АСВН= АНВН=80/3 50= 4000/3 кв. см