как доказывается равенство 2r=a+b-c?

Если я не ошибаюсь речь идет о вписанном в прямоугольный треугольник окружности

Здесь есть 2 варианта подтверждения я покажу самый благовидный из их

Полезной для нахождения радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c является формула ...,где c гипотенуза, a и b катеты треугольника. Беря во внимание, что отрезки касательных из наружной точки к окружности одинаковы, получим набросок, из которого видно a + b = (r + x) + (r + y) = 2r + (x + y) = 2r + c, откуда и следует обозначенная формула.

сори это ненарош\но сюда написал

Тк  радиусы  перпендикулярны касательным,то  KOBM -прямоугольник  тк 4 угол 360-90*3=90
Откуда  KB=BM=r пусть  a,b  катеты,с-гипотенуза,тогда  AK=a-r  ,Mc=b-r
А  из характеристики равенства касательных  выходит что: c=(a-r)+(b-r)
2r=a+b-c
Чтд

Полезной для нахождения радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c является формула 
...,где c гипотенуза, a и b катеты треугольника. 

Учитывая, что отрезки касательных из наружной точки к окружности одинаковы, получим рисунок, из которого видно 
a + b = (r + x) + (r + y) = 2r + (x + y) = 2r + c, 
откуда и следует указанная формула.