В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD каждое ребро одинаково 12. На ребре
В правильной четырехугольной пирамиде РАВСD каждое ребро одинаково 12. На
ребре РС отмечена точка К так, что РК:КС=1:3.
а) Обоснуйте, что линия скрещения плоскостей АВК и РСD параллельна плоскости
АВС.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью АВК.
1 ответ
Олеся Чарушина
Построим сечение пирамиды плоскостью ABK. K грани PCD.
1) Отметим для определенности верхушки основания пирамиды таким образом:
На заднем плане слева вправо D и A, на фронтальном слева вправо C и B
AB паралл CD. CDPCD. ABPCD.
Если ровная, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Означает, AB парал плоскости PCD. Либо грань PCD парал AB.
Точка KPCD. В этом случае секущая плоскость будет пересекать эту грань по отрезку KL парал следу AB. LPDABKL - секущая плоскость. Это будет равнобедренная трапеция
KL - линия пересечения плоскостей ABK и PCD.
KLABC - плоскости основания пирамиды
KL парал AB - по построению
AB плоскости ABCKL парал ABC по выше указанной теореме.
2) Необходимо отыскать площадь ABKL. Отметим точки и соединим их:
E - середина KL; N - середина AB. EN - высота трапеции.
S=1/2(KL+AB)*EN
AB=12 - по условию
a) Для нахождения KL рассмотрим тр-ки PCD и PKL. Они сходственны. Из подобия записываем пропорциональность сторон:
CD:KL=PC:PK
РК:КС=1:3PC:CK=4:1CD:KL=4:1KL=1/4*CD=1/4*12=3
Итак, KL=3
б) Сейчас займемся поиском EN.
Проведем апофемы PM и PN, где PM грани PCD, PN грани PAB
O - центр основания (точка пересечения диагоналей AC и BD)
Соединим точки M и N. OMN. MN=12
Так как каждое ребро одинаково 12, то боковые грани - равносторонние тр-ки
Апофемы - вышины равносторонних тр-ков. Если a - сторона правильного тр-ка, то a3/2 - его вышина. Означает, PM=PN=12*3/2=63
Построим раздельно тр-ник MPN. Он - равнобедренный
Объединяем точки E и N.
PO - его вышина. MO=ON=6по аксиоме Пифагора
PO^2=PM^2-MO^2=(63)^2-6^2=6^2(3-1)=36-2=72PO=72=36*2=62
Проведем EF парал PO. Тогда EN можно отыскать из тр-ка EFN. Для этого нужно знать длины отрезков EF и FN.
Из подобия выше осмотренных тр-ков PM:PE=4:1
Рассмотрим тр-ки OMP и FME. Они подобны
MP:ME=PO:EF=MO:MF
MP:ME=4:3EF=3/4*PO=3/4*62=9/2*2; MF=3/4*MO=3/4*6=9/2
FN=FO+ON=OM-MF+ON=MN-MF=12-9/2=15/2
EN^2=EF^2+FN^2=(9/2*2)^2+(15/2)^2=(3/2)^2*3^2*2+(3/2)^2*5^2=
=(3/2)^2*(18+25)=43*(3/2)^2
EN=3/2*43 - вышина трапеции
S=1/2(KL+AB)*EN=1/2*(3+12)*3/2*43=4543/4
Ответ: S=4543/4
1) Отметим для определенности верхушки основания пирамиды таким образом:
На заднем плане слева вправо D и A, на фронтальном слева вправо C и B
AB паралл CD. CDPCD. ABPCD.
Если ровная, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Означает, AB парал плоскости PCD. Либо грань PCD парал AB.
Точка KPCD. В этом случае секущая плоскость будет пересекать эту грань по отрезку KL парал следу AB. LPDABKL - секущая плоскость. Это будет равнобедренная трапеция
KL - линия пересечения плоскостей ABK и PCD.
KLABC - плоскости основания пирамиды
KL парал AB - по построению
AB плоскости ABCKL парал ABC по выше указанной теореме.
2) Необходимо отыскать площадь ABKL. Отметим точки и соединим их:
E - середина KL; N - середина AB. EN - высота трапеции.
S=1/2(KL+AB)*EN
AB=12 - по условию
a) Для нахождения KL рассмотрим тр-ки PCD и PKL. Они сходственны. Из подобия записываем пропорциональность сторон:
CD:KL=PC:PK
РК:КС=1:3PC:CK=4:1CD:KL=4:1KL=1/4*CD=1/4*12=3
Итак, KL=3
б) Сейчас займемся поиском EN.
Проведем апофемы PM и PN, где PM грани PCD, PN грани PAB
O - центр основания (точка пересечения диагоналей AC и BD)
Соединим точки M и N. OMN. MN=12
Так как каждое ребро одинаково 12, то боковые грани - равносторонние тр-ки
Апофемы - вышины равносторонних тр-ков. Если a - сторона правильного тр-ка, то a3/2 - его вышина. Означает, PM=PN=12*3/2=63
Построим раздельно тр-ник MPN. Он - равнобедренный
Объединяем точки E и N.
PO - его вышина. MO=ON=6по аксиоме Пифагора
PO^2=PM^2-MO^2=(63)^2-6^2=6^2(3-1)=36-2=72PO=72=36*2=62
Проведем EF парал PO. Тогда EN можно отыскать из тр-ка EFN. Для этого нужно знать длины отрезков EF и FN.
Из подобия выше осмотренных тр-ков PM:PE=4:1
Рассмотрим тр-ки OMP и FME. Они подобны
MP:ME=PO:EF=MO:MF
MP:ME=4:3EF=3/4*PO=3/4*62=9/2*2; MF=3/4*MO=3/4*6=9/2
FN=FO+ON=OM-MF+ON=MN-MF=12-9/2=15/2
EN^2=EF^2+FN^2=(9/2*2)^2+(15/2)^2=(3/2)^2*3^2*2+(3/2)^2*5^2=
=(3/2)^2*(18+25)=43*(3/2)^2
EN=3/2*43 - вышина трапеции
S=1/2(KL+AB)*EN=1/2*(3+12)*3/2*43=4543/4
Ответ: S=4543/4
, оставишь ответ?
Похожие вопросы
-
Вопросы ответы
Новое
NEW
Статьи
Информатика
Статьи
Последние вопросы
Во сколько раз число атомов кислорода в земной коре больше числа
Химия.
Составить монолог от имени дневника двоечника 7-10 предложений
Русский язык.
Рассматривая литературный язык как сложное взаимодействие книжного языка и разговорного,В.И.Чернышёв горячо
Разные вопросы.
Арабы входят в __________________ групп народов. Местом расселения арабов с незапамятных
Разные вопросы.
Грузовой автомобиль марки краз за одну поездку может доставить 7.500 кирпичей
Математика.
Определить предложения какие они по цели высказывания и по интонации
Русский язык.
"Три толстяка" Называли эту площадь Площадью Звезды последующей причине.
Русский язык.
на одной грядке коротышки посадили 3 ряда морковок по 8 штук
Разные вопросы.
эссе на тему какое образование дается в каждой семье
Қазақ тiлi.
Put the verb in brackets into the Present Indefinite.
1The Volga ,
Английский язык.
Облако тегов