Прямоугольный треугольник разбит вышиной, проведённой к гипотенузе, на два треугольника, в

Создадим набросок к задачке. 

 АВС,  АСD и  ВСDподобны по свойству вышины прямоугольного треугольника, проведенной из прямого угла к гипотенузе.
Для удобства при вычислениях обозначим

длину АD одинаковой х,
длину СD одинаковой у.
Из подобия треугольников АСD и ВСD:
х:5=у:12,
По свойству пропорции: творение средних членов пропорции одинаково произведению ее последних членов:
5у=12х
отсюда
у=12х/5.
Найдем АС из треугольника АСD по теореме Пифагора:
AC=x+y
AC=x+144x/25
AC =(x+144x/25)=13x/5

Обозначим разыскиваемый радиус вписанной в треугольник АВС окружности R
Составим пропорцию дела радиусов R и r вписанных окружностей и меньших катетовв сходственных треугольниках АВС и АСD

R:5=АС:х
R:5=(13x/5):х
Rх=5(13x/5)
R = 13 см