В окружности вписана трапеция,боковая сторона которой одинакова 15, средняя линия 16

АВС - прямоугольный, т.к. его верхушки лежат на окружности, а большая сторона - диаметр этой описанной окружности.
СН- высота этого треугольника и вышина трапеции.
По свойству высоты прямоугольного треугольника к гипотенузе
катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между
гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
СВ =ВНАВ
Полусумма оснований трапеции ( средняя ее линия) =16 см, АВ+СД=32 см
Для удобства вычислений обозначим длину

СД=х
Тогда АВ=32-х,
ВН=(32-х-х):2=16-х
Из ВСН по теореме Пифагора найдем величину х.

Для этого подставим в уравнение СВ =ВНАВ обозначения каждой стороны.
Получим квадратное уравнение
х - 48х + 287=0
Корни этого уравнения одинаковы 7 и 41( 41 не подходит, т.к. наименьшее основание трапеции не может быть больше средней линии)

х=7 см ( это длина наименьшего основания трапеции)
Последующие вычисления дают нам вышину трапеции ВН= 12 см
S трапеции=1216=192 см