Обоснуйте, что если каждая диагональ разделяет площадь четырехугольника напополам, что этот

Ну вот пусть там площади четырех треугольников, на которые диагонали делят четырехугольник, S1, S2, S3, S4, тогда
S1 + S2 = S3 + S4;
S1 + S4 = S3 + S2; 
следовательно S2 - S4 = S4 - S2; то есть S2 = S4; само собой и S1 = S3;
Сейчас, если отрезки, на которые точка пересечения диагоналей разделяет диагонали, как x, y - для одной диагонали  z, w - для иной, то, x/y = S1/S2; и y/x = S3/S4 = S1/S2; так как у смежных треугольников есть общая высота к "основаниям", то есть к сторонам x и y, откуда стороны относятся, как площади.
Потому x = y; подобно z = w; 
Получилось, что диагонали четырехугольника в точке скрещения делятся напополам. 
Я, окончательно, могу продолжить подтверждать, но здесь можно и остановиться - дальше вам на уроках должны были разъяснять. Вкратце - "вертикальные" треугольники не просто имеют равные площади, они вообщем оказались одинаковыми, откуда следует параллельность сторон.