1. Неравенство треугольника (обосновать).

Аксиоме о неравенстве треугольника:
Длина любой стороны треугольника меньше суммы 2-ух других его сторон.
Пусть АС - большая сторона треугольника.
Докажем, что АС lt; AB + BC.
Опустим вышину ВН на сторону АС.
В треугольнике напротив большего угла лежит великая сторона. В прямоугольном треугольнике прямой угол - самый великий, против него лежит гипотенуза, означает катет всегда меньше гипотенузы.
АВН: АН lt; AB
CBH: CH lt; BC, складываем неравенства и получаем:
АН + СН lt; AB + BC или
     AC     lt; AB + BC.

Так как аксиома подтверждена для большей стороны, для двух иных сторон она явно верна.