Вышина и медиана прямоугольного треугольника разделили гипотенузу на части, одна из

Отрезок ВМ (точно так же, как и отрезок АМ) не может быть равен полусумме 2-ух иных отрезков гипотенузы, так как МН+НА=ВМ и АМ=ВМ(СМ - медиана).  (глядим рисунок)
Следовательно, нас интересует два вероятных варианта:
МН=(ВМ+НА)/2 (1) и НА=(ВМ+МН)/2 (2).
Мы знаем, что катет ВС=(АВ*ВН) и АС=(АВ*НА) (вытекает из свойства высоты, проведенной из прямого угла на гипотенузу).
Тогда отношение катетов АС/ВС=[(АВ*НА)/(АВ*ВН)] либо АС/ВС=(НА/ВН).
Итак, нам надо отыскать это отношение.
1). Пусть МН=(ВМ+НА)/2. Но МН=МА-НА либо МН=ВМ-НА (так как ВМ=МА).
Отсюда (ВМ+НА)/2=ВМ-НА либо 2ВМ-2НА=ВМ+НА либо ВМ=3НА.
Тогда АВ=6НА (АВ=2*ВМ), а ВН=5НА (ВН=АВ-НА).
Разыскиваемое отношение АС/ВС=(НА/5НА)=1/5 либо АС/ВС=5/5.
2). Пусть НА=(ВМ+МН)/2. ВМ+МН=ВС. То есть НА=ВС/2.
Разыскиваемое отношение АС/ВС=(ВС/2ВС)=1/2 либо АС/ВС=2/2.
Ответ: отношение катетов может быть равным
АС/ВС=5/5 либо АС/ВС=2/2.