Обусловьте вид четырёхугольника ABCD и напишите уравнение окружности вписанной в этот

Даны вершины четырехугольника:  A(1;5), B(3;1), C(1;-3) и D(-1;1).
Сторона АВ (модуль вектора): АВ=[(3-1)+(1-5)] =(4+16)=20.
Сторона DC:  DC=[(1-(-1))+(-3-1)]=(4+16)=20.
Обратные стороны четырехугольника равны и параллельны
(по признаку -  отношения их координат АВ2;-4 и DC2;-4 одинаковы:
2/2=-4/-4=1).
Если в четырехугольнике две противоположные стороны одинаковы и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.
Чтоб в четырехугольник можно было вписать окружность, нужно и довольно, чтоб он был выпуклым и имел одинаковые суммы обратных сторон.
Найдем стороны AD и ВС (достаточно стороны AD, так как в параллелограмме обратные стороны одинаковы).
AD= [(-1-1))+(1-5)]=(4+16)=20.
Итак, наш четырехугольник ромб либо квадрат (все стороны одинаковы).
Как следует, в него можно вписать окружность.
Уточним. Если в ромбе один из углов прямой, то это квадрат.
Условие перпендикулярности векторов:
векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их
скалярное творение равно нулю: Xa*Xb + Ya*Yyb = 0 .  У нас
вектор АВ2;-4, вектор ВС-2;-4. Тогда -4+16 не равно нулю. Означает
АВСD - ромб.
Диаметр вписанной окружности - отрезок, равный расстоянию между обратными сторонами.
Найдем расстояние от верхушки В(3;1) до прямой AD.
Уравнение прямой AD:
(X-Xa)/(Xd-Xa)=(Y-Ya)/(Yd-Ya)  =gt;
(X-1)/(-2)=(Y-5)/(-4) - каноническое уравнение. Отсюда
2X-Y+3=0 - общее уравнение с коэффициентами
А=2, В=-1, С=3.
Разыскиваемое расстояние (по формуле):
d=A*Xb+B*Yb+C/(A+B) = 6+(-1)+3/5 =8/5.
Это диаметр.
Радиус R=4/5.
Центр (О) окружности расположен на середине хоть какой из диагоналей ромба.  К примеру, на середине диагонали  BD. Найдем этот центр:
О(1;1) (как находить координаты середины отрезка, мы теснее проявили).
Тогда уравнение окружности  (X-Xc)+(Y-Yc)=R:
(X-1)+(Y-1)=3,2.