докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются, то его верхушки лежат в

  Согласно известному мне определению, четырехугольник - это приватный случай многоугольника, который по определению всегда весь лежит в одной плоскости. Однако можно догадаться, что речь идет просто о 4 точках с проведенными отрезками, тогда все решается в одно деяние.
  Пусть отрезки AC и BD пересекаются в точке О. Тогда, по соответствующей аксиоме, через пересекающиеся прямые AC и BD проходит какая-то плоскость. Прямые AC и BD целиком лежат в этой плоскости, значит, и лежащие на их точки лежат в ней: A, C, B, D. Таким образом, существует плоскость, проходящая через все вершины четырехугольника.