За какое минимальное количество перестановок из последовательности :)):):): можно получить

За одну.

Надобно поменять местами группы из трёх символов ):) и :):

Так с наскоку увидеть перестановку не вышло, и для улучшения зрения изготовлена программка
Вероятные перестановки хранятся в массиве Xchng.
В программке изготовлена проверка на две перестановки, что, по великому счёту избыточно, т.к. кратчайшее решение содержит всего одну перестановку. но дополнить программку проверками на 3 и 4 перестановку можно.
----------------------------------------------------------
program pr_1;
type  Xchng_type = record
    len, first, second: integer;
  end;
const  Xchng: array [1..50] of Xchng_type =
   (
      (len: 4; first: 1; second: 5),
      (len: 3; first: 1; second: 4),
      (len: 3; first: 1; second: 5),
      (len: 3; first: 1; second: 6),
      (len: 3; first: 2; second: 5),
      (len: 3; first: 2; second: 6),
      (len: 3; first: 3; second: 6),
      (len: 2; first: 1; second: 3),
      (len: 2; first: 1; second: 4),
      (len: 2; first: 1; second: 5), 
      (len: 2; first: 1; second: 6),
      (len: 2; first: 1; second: 7),
      (len: 2; first: 2; second: 4),
      (len: 2; first: 2; second: 5),
      (len: 2; first: 2; second: 6),
      (len: 2; first: 2; second: 7),
      (len: 2; first: 3; second: 5),
      (len: 2; first: 3; second: 6),
      (len: 2; first: 3; second: 7),
      (len: 2; first: 4; second: 6),
      (len: 2; first: 4; second: 7),
      (len: 2; first: 5; second: 7),
      (len: 1; first: 1; second: 2),
      (len: 1; first: 1; second: 3),
      (len: 1; first: 1; second: 4),
      (len: 1; first: 1; second: 5),
      (len: 1; first: 1; second: 6),
      (len: 1; first: 1; second: 7),
      (len: 1; first: 1; second: 8),
      (len: 1; first: 2; second: 3),
      (len: 1; first: 2; second: 4),
      (len: 1; first: 2; second: 5),
      (len: 1; first: 2; second: 6),
      (len: 1; first: 2; second: 7),
      (len: 1; first: 2; second: 8),
      (len: 1; first: 3; second: 4),
      (len: 1; first: 3; second: 5),
      (len: 1; first: 3; second: 6),
      (len: 1; first: 3; second: 7),
      (len: 1; first: 3; second: 8),
      (len: 1; first: 4; second: 5),
      (len: 1; first: 4; second: 6),
      (len: 1; first: 4; second: 7),
      (len: 1; first: 4; second: 8),
      (len: 1; first: 5; second: 6),
      (len: 1; first: 5; second: 7),
      (len: 1; first: 5; second: 8),
      (len: 1; first: 6; second: 7),
      (len: 1; first: 6; second: 8),
      (len: 1; first: 7; second: 8) 
 );
var
  s, s_target, s1, s2, s3, s4, s5, snew1, snew2, snew3, snew4: string;
  p1,p2,p3,p4: integer;
begin
  s := ':)):):):';
  s_target := ':):):):)';
  //s:='abcdefgh';
  for p1 := 1 to 50 do
   begin
    snew1 := concat(
      Copy(s, 1, Xchng[p1].first - 1),      Copy(s, Xchng[p1].second, Xchng[p1].len),
      Copy(s, Xchng[p1].first + Xchng[p1].len, Xchng[p1].second - Xchng[p1].len - Xchng[p1].first),
      Copy(s, Xchng[p1].first, Xchng[p1].len),
      Copy(s, Xchng[p1].second + Xchng[p1].len, 9 - Xchng[p1].second - Xchng[p1].len));
    if(CompareStr(s_target, snew1) = 0) then writeln('число перестановок = 1, номер перестановки 1=', p1);
     for p2 := 1 to 50 do
     begin
      snew2 := concat(
        Copy(snew1, 1, Xchng[p1].first - 1),
        Copy(snew1, Xchng[p2].second, Xchng[p2].len),
        Copy(snew1, Xchng[p2].first + Xchng[p2].len, Xchng[p2].second - Xchng[p2].len - Xchng[p2].first),
        Copy(snew1, Xchng[p2].first, Xchng[p2].len),
        Copy(snew1, Xchng[p2].second + Xchng[p2].len, 9 - Xchng[p2].second - Xchng[p2].len));
      if(CompareStr(s_target, snew2) = 0) then writeln('число перестановок = 2, номера перестановок 1=', p1,', 2=', p2);
          end;
      end;
end.
-----------------------------
И вот ответ:
число перестановок = 1, номер перестановки 1=7 длина блока 3 начало первого блока3 начало второго блока6