Какое наибольшее количество ребер у неориентированного графа с N вершин и

Каждая из компонент связности обязана быть кликой (иначе разговаривая, каждые две верхушки в одной компоненте связности должны быть связаны ребром). Если в i-ой компоненте связности вершин, то общее число рёбер будет суммой по всем компонентам связности:



Нужно найти максимум этого выражения (т.е. на самом деле - максимум суммы квадратов) при условии, что сумма всех ni одинакова N и ni - натуральные числа.

Если K = 1, то всё явно - ответ N(N - 1)/2. Пусть K gt; 1.

Предположим, n1 lt;= n2 lt;= ... lt;= nK - набор чисел, для которых достигается максимум, и n1 gt; 1. Уменьшим число вершин в первой компоненте связности до 1, а оставшиеся вершины "перекинем" в K-ую компоненту связности. Вычислим, как изменится сумма квадратов:

Так как по предположению n1 gt; 1 (тогда и nK gt; 1), то сумма квадратов возрастет, что противоречит предположению о том, что на выбранном вначале комплекте достигается максимум. Означает, максимум достигается, если наименьшая по размеру компонента связности - изолированная верхушка. Выкинем эту компоненту связности, останутся K - 1 компонента связности и N - 1 вершина. Будем продолжать так делать, пока не останется одна верхушка, тогда получится, что во всех компонентах связности не считая заключительной должно быть по одной верхушке.

Итак, обязано производиться


Подставив в начальную формулу, получаем


Это и есть ответ.