Два игрока, Петя и Ваня, играют в последующую игру. Перед игроками

1а) Заметим, что для всех S5 операция 2) более прибыльна, чем 1). Тогда светло, что для всех S таких, что SN, 2S-138 S20 Петя может использовать операцию 2) и сходу же выиграть. Явно, что для других S это невероятно.

1б) Ваня выигрывает первым ходом, если к его ходу в куче не меньше 20 камешков, при этом до хода Пети в куче был меньше 20 камешков. Отсюда S+320 S17. Получаем, что S [17;19];

2) Явно, что Петя выигрывает своим вторым ходом, если выполняются последующие условия: (i) Петя не выиграл первым ходом (S19), (ii) Последующим ходом не выиграл Ваня (S16). Эти два условия выполняются при S16. Светло также, что при 11S13 Петя не сможет выиграть вторым ходом: Петя прибавляет 3 камня, точно также может поступить Ваня, то есть будет не более 19 камешков, чего недостаточно. Если S8, то ко второму ходу будет не более 15 камешков, а Ваня может добавить всего 3, итого 18, чего вновь недостаточно. При S=9 либо 10 все работает: ко второму ходу Пети будет не менее 20 камешков (Петя может так сделать). S[9;10][14;16]

3) Ваня выигрывает своим первым либо вторым ходом - это объединение значений, при которых он выигрывает первым ходом и при которых он выигрывает вторым ходом. Первым ходом он выигрывает при S[17;19]. Петя не выигрывает своим вторым ходом (и первым) при S[11;13]. Поработаем с остальными значениями. Заметим, что, если после первого хода число попадает в область S[9;10][14;16] - то это те и только те значения на момент первого хода Вани, при которых он выигрывает вторым ходом. Это неминуемо при 11S14 - или Ваня выиграет первым ходом, или вторым.

Ответ: 1а) 20S37

           1б) S=17, 18, 19

           2) S=9, 10, 14, 15, 16

           3) S=11, 12, 13, 14, 17, 19