Есть чашечные весы без делений. Для взвешивания багажа также можно использовать

Пусть выбраны гири с массами M1, M2, ..., Mn и ими удалось массу X. 

Тогда имеет место равенство X = a1 * M1 + a2 * M2 + ... + an * Mn,
где ai = 0, если i-ая гирьке не участвовала в взвешиваниях, -1, если лежала на той же чаше весов, что и масса, которкю необходимо отмерить, и +1, если на иной чаше весов. 

Каждый из коэффициентов воспринимает одно из трёх значений, тогда при подмоги n гирек можно отмерить не более, чем 3^n разных масс. 3^3 lt; 40 + 1 lt; 3^4, означает, гирек необходимо не наименее четырёх. 

Докажем, что взяв гири с массами 1, 3, 9 и 27, можно отмерить любую массу от 1 до 40. Будем это делать по индукции, доказав, что при подмоги гирек 1, 3, 9, ..., 3^k можно отмерить любую массу от 1 до (3^k - 1)/2.

База индукции. При подмоги одной гири массой 1 вправду можно отмерить массу 1.
Переход. Пусть для k = k' всё доказано. Докажем и для k = k' + 1.
- Если необходимо отмерить массу X lt;= (3^k' - 1)/2, то это можно сделать при подмоги k' гирек. 
- Пусть надобно отмерить массу (3^k' - 1)/2 lt; X lt;= (3^(k' + 1) - 1)/2. Кладём на иную чашу весов гирьку массой 3^k'. Тогда остаётся нескомпенсированная масса X - 3^k' lt;= (3^k' - 1)/2, которую, по предположению, можно получить. Ура!

Ответ. 1, 3, 9, 27.