К югу от границ Древнерусского государсва жили племена(кого?)

Тут зависит от периода. В IX веке в степях на юге жили хазары, они и дать с русских земель получали. В конце IX века они достигнули степей Крыма и около 80 лет были на второстепенных ролях, хотя редкие конфликты с русскими дворянами у их и случались. После погрома хазарского каганата в низовьях Дона и Волги, печенеги стали главным соперником Руси на период с 972 по 1036 годы.

С заключительней трети XI века до первой половины XIII века в степях жили половцы и нередко устраивали набеги на российские княжества. В XI-XIII веке среди племен тюрок-кочевников выделяли торков, берендеев и темных клобуков. Заключительные упоминаются в летописях с 1146 по 1193, их центром был город Торческ к югу от Киева.

Кроме этого, в конце IX века по степям к югу от Руси венгры перекочевали на свою современную местность.