Когда, с какого медли, под управлением КАКОГО князя Москва стала центром

Религиозным центром российского страны Москва стала при Иване I Калите (верховодил в 1325-1340), это связано с переездом митрополита из города Владимира, где он находился с 1299 года. 

При этом же дворянине она стала центром соединения, так как Иван Калита получил ярлык на большое княжение и сумел победить главного конкурента в деле борьба за ярлычек - Тверское княжество. При нем Московское княжество стало заметно богаче, это выразилось и в каменном строительстве и в покупке селений.

Однако, до 1480 Московское княжество оставалось де-юре вассалом Золотой Орды, потому ответ про Ивана III тоже частично можно считать правильным.