Карл Большой стал Римским императором а) в 768г. б) в 800г.

Из перечисленных дат подходит только 800 год. Конкретно тогда на 32 год нахождения у власти Карл Великий получил императорскую корону от Папы Римского и стал первым царем в Западной Европе со времен низложения заключительного римского императора Ромула Августула (476 год, то есть 324 года прошло). Он также стал вторым императором в Европе, первым был византийский. 

Карл всего 14 лет успел побывать царем, он погиб в 814 году, а потом империя распалась в 843 году по Верденскому договору на Францию, Германию и Лотарингию.