Почему при приближении войска Тохтамыша князь Дмитрий Донской вместе с семьёй

Это можно разъяснить тем фактом, что у Тохтамыша была целая орда. Князь Дмитрий же в Куликовой битве растерял много бойцов. Даже летописцы писали, что тогда русская земля обеднела (от великих потерь).  У Дмитрия Донского не было сил, чтобы разбить еще одну великую орду. Таким образом, он был вынужден признать победу Тохтамыша. После этого Московское княжество было принуждено возобновить оплачивать дань.