если бы российские князья вначале признали власть монголов,нашествия можно было избежать

Князья обязаны монголам появлением русской государственности и Царства Столичного. Пока московские князья устраивали пиры, куда приглашали татарских ханов, киевские князья размышляли как освободить себя от монгольского ига.

Избежать или предотвратить могли бы в том случае, если бы громадное Древнерусское правительство не распалось
Распад Руси в целом хотя и был закономерным и прогрессивным явлением (расцвет городов, отдельных княжеств), но негативных и катастрофических последствий для страны избежать не удалось: децентрализация гос власти, ослабление единства российских земель подорвали мощь Руси в условиях возрастания опасности со стороны восточных номадов и западных держав, издавна уже претендовавших на контроль над русскими землями. Новенькая Русь теснее не нуждалась в былой централизованной власти. В начале 13 в. после распада Древнерусского страны образовалось около 50 княжеств. Их центры стали большими крепостями, а некогда единичная оборонная система страны, закончила своё существование. В это же время разрозненные племена татарских скотоводов были объединены Темучином. В 1206 г. общий съезд татарских вождей (курултай) провозгласил его великим ханом всех монголов -- Чингисханом.
Отряды Чингисхана за краткое захватили огромные местности в Сибири, Сев. Китае, на Далеком Востоке, Корее, Средней Азии и Закавказье
В 1223 г. началась 1-ая волна монгольского завоевания русских земель. В дальнейшем монголо-татарские нашествия на долгие годы остановили развитие Руси. Ханы исполняли политику, направленную на углубление и поддержание состояния раздробленности Руси, провоцируя княжеские междоусобицы На российских землях было установлено золотоордынское иго, продолжавшееся около 250 лет