Почему дворяне поддержали Екатерину ll в намерении свергнуть Петра lll?

Да дворяне Екатерину и не поддерживали... Да и не препятствовали, вобщем. Дворян как раз никто не спрашивал. 
Петра свергла гвардия. В перевороте участвовали только два гвардейских полка из 3-х  Семеновский и Измайловский. Преображенский полк заговор не поддержал и в свержении правителя не участвовал. За это три старших командира полка С.Р.Воронцов, П.И.Измайлов и П.П.Воейков подверглись потом аресту. Не секрет также, что многие из гвардейцев были подпоены, а многие были силой принуждены к роли в перевороте их офицерами. А. С. Пушкин приводит слова свидетелей, которые уже после свержения слышали, как гвардейцы жаловались, что кинули батюшку короля за бочку пива! 
То, что люд не обожал Петра 3 - как показывает практика, это всего лишь художественный вымысел историка Ключевского - откуда тогда столько лже-Петров потом появилось (около 40), и самым знаменитым был Емельян Пугачев? Лже-Петров 1 как-то в истории не наблюдалось. Вообщем.
Главнейший документ царствования Петра Фёдоровича  Манифест о вольности дворянства (Манифест от 18 (29) февраля 1762 года), благодаря которому дворянство стало исключительным привилегированным сословием Русской империи. Дворянство, будучи принуждённым Петром I к неотклонимой и поголовной повинности служить всю жизнь государству, при Анне Иоанновне получившее право выходить в отставку после 25-летней службы, сейчас получало право не служить вообщем.Кроме освобождения от службы, дворяне получили право фактически беспрепятственного выезда из страны. Одним из следствий Манифеста стало то, что дворяне могли сейчас свободно распоряжаться своими земельными владениями вне зависимости от дела к службе. Дворянство становилось так свободным, насколько может быть свободно привилегированное сословие в феодальной стране.
И за что дворянам после этого не обожать Петра 3? Вот гвардия - да. Гвардия имела все "предпосылки" свергнуть Петра. 
Петр отменил самую тщетную часть гвардии лейб-кампанию, обходившуюся русской казне в два миллиона рублей в год - полки, которые возвели на престол Елизавету. Кучка лентяев. Ведь гвардия никогда не участвовала в боевых деяньях. НИКОГДА. А жалованье получала. Плюс ко всему Петр отдал приказ всем, числившемся в гвардии и живущим в собственных имениях прибыть к месту службы. Следует увидеть, что среди их были люди, никогда вообще не облекавшие мундира - просто числившиеся в гвардии. Ну и... каждый день заниматься строевой подготовкой и иными воинскими учениями. И далее - выслать гвардию на войну. Вот гвардия и оскорбилась - кончилось бездельничание. Служить принудили. 
Так что дворяне Екатерину не поддерживали. Все сделала гвардия и группа приближенных к будущей  (увы) императрице.