Обосновал ли Раскольников то, что желал обосновать?

Нет, не обосновал.
Раскольников желал обосновать для себя, что он не тварь дрожащая, а право имеющий. Он выдумывает эту теорию, оправдывающую кровь по совести, тк он не может действовать и жить, задыхаясь в этом мире бедности и безысходности. Правонарушение совершает не разумный и рассудительный парень, а одинокий студент, погрязший в бедности, которого безысходность и толкает на преступление. В итоге он не оправдывает свои ожидания и сдается - подтверждая, что никакой он не избранный, не "право имеющий". Но позже он понимает несостоятельность своей теории, понимает наконец, что гордость разума водит к розни и погибели, а смирение сердца к единству в любви и к полноте жизни.