Давным-издавна мне задали задачку:2 в ступени Х=4Х и произнесли: решишь -

Сначала определим, сколько действительных корней вообщем может иметь данное уравнение. Рассмотрим функцию Её производная Найдём её ноли.

;

;

;

;

;

;

;


При например при ;

При например при ;


При функция ;

При функция ;

При функция ;


А это означает, что до точки функция строго убывает, причём переходя от положительных при значений к отрицательным, а означает имеет до обозначенной точки ровно один корень. А дальше от точки функция взыскательно подрастает, причём переходя от отрицательных значений к положительным при а означает, имеет после обозначенной точки ровно ещё один корень.

Таким образом, данное уравнение имеет РОВНО ДВА реальных корня. Найдём их.


Во-первых, у уравнения есть явный корень заявленный и в приведённом условии. Дальше порассуждаем фактически:

x=0) ;

x=1) ;

x=2) ;

x=3) ;

x=4) ;

x=5) ;

При производная больше производной , т.е. далее левая часть уравнения, растёт прытче, чем правая, а значит, иных корней при быть не может.

При левая часть уравнения положительна, а правая отрицательна, так что иных корней при быть не может.

Но, как видно из оценок (x=0) и (x=1) уравнение явно имеет решение на , так как при сопоставлении двух непрерывных функций на этом промежутке изменяется символ.

Представим, что 2-ое решение разумно. Тогда слева мы будем иметь арифметический корень некоторой ступени из двойки, возведённой в некую иную несократимую и наименьшую степень, т.е. если где то: Это число, явно иррационально, что просто обосновать от оборотного способом Евклида. Но справа обязано быть разумное число а значит, мы пришли к противоречию. Таким образом, 2-ое решение иррационально.


Если, тем не наименее, таковой корень обязан быть найден, то нам придётся привлечь некоторые не очень трудные познания из высшей арифметики, поскольку по другому данная задачка не может быть решена.

В высшей арифметике используется огромное количество дополнительных функций. Одна из их, функция Ламберта по определению дающая решение, т.е. являющаяся обратной, к функции Функция вводится аналогично, скажем, функции являющейся решением уравнения но в отличие от арктангенса, функция Ламберта используется намного реже в прикладных задачах (в главном в задачах теплопроводимости), и потому менее обширно известна. Функция вводится на расширенной всеохватывающей плоскости, т.е. алгебраически, а не арифметически, а означает по определению, может быть неоднозначной, и является такой при отрицательных значениях аргумента хотя нам довольно будет знать только её действительные значения, которых при отрицательных доводах всегда два. Вид реальных ветвей функции Ламберта представлен на приложенном изображении.

Преобразуем наше уравнение к функции Ламберта:

;

;

;

;

Обозначим: тогда:

отсюда через функцию Ламберта:



;


[[[ Продолжение на изображении. Предел сервиса 5000 знаков не дозволяет дописать решение. ]]]