.Отыскать значение выражения 11!+22!+33!++99!. Напомним, что 9!=362880

Ответ: значение выражения одинаково 10!-1=10*9!-1=3628799.

Подтверждение того, что 1*1!+...+n*n!=(n+1)!-1.
1)Базис индукции. 1*1!=2!-1 - верно.
2)Шаг индукции. Пусть для какого-то n это верно. Тогда прибавим к обеим долям равенства выражение (n+1)! и преобразуем правую часть:
(1*1!+2*2!+...+n*n!)+(n+1)*(n+1)!=(n+1)! -1 +(n+1)*(n+1)!=(n+1)! * (n+1+1) -1=(n+2)!-1. Как в левой, так и в правой доли получили те же выражения, что и в предположении с подменой (n) на (n+1), означает, то, что мы доказываем, правильно и для n+1.
И, сообразно способу математической индукции, 1*1!+...+n*n!=(n+1)!-1 при любом естественном n.