Сложение и вычитание дробей

Итак, что из себя представляют дроби, виды дробей, преображенья - мы вспомнили. Займёмся основным вопросом. Что можно делать с дробями? Да всё то, что и с обычными числами. Складывать, вычитать, множить, разделять. Все эти действия с десятичными дробями ничем не отличаются от деяний с целыми числами. Собственно, этим они и хороши, десятичные. Единственно, запятую верно поставить надобно. Смешанные числа, как я уже говорил, малопригодны для деяний. Их всё одинаково надобно переводить в обыкновенные дроби. А вот деяния с обычными дробями похитроумнее будут. И еще важнее! Напомню: все действия с дробными выражениями с буковками, синусами, неведомыми и иная и иная ничем не отличаются от деяний с обыкновенными дробями! Конкретно по этой причине мы очень подробно разберём тут всю эту арифметику. А хитроумные дробные выражения разберём в ином разделе, который на четвёрку. Сложение и вычитание дробей. Сложить (отнять) дроби с схожими знаменателями каждый сумеет (очень полагаюсь!). Ну уж совершенно беспамятным напомню: при сложении (вычитании) знаменатель не изменяется. Числители складываются (вычитаются) и дают числитель результата. Типа: Или: Кратче, в общем виде: А если знаменатели различные? Тогда, используя главное свойство дроби (вот оно и вновь понадобилось!), делаем знаменатели схожими! Например: Тут нам из дроби 2/5 пришлось сделать дробь 4/10. Необыкновенно с целью сделать знаменатели схожими. Замечу, на всякий случай, что 2/5 и 4/10 это одна и та же дробь! Только 2/5 нам неловко, а 4/10 очень даже ничего. Кстати, в этом сущность решений любых заданий по математике. Когда мы из неловкого выражения делаем то же самое, но теснее комфортное для решения. Ещё пример: Ситуация подобная. Тут мы из 16 делаем 48. Обычным умножением на 3. Это всё понятно. Но вот нам попалось что-нибудь типа: Как быть?! Из семёрки девятку тяжело сделать! Но мы разумные, мы управляла знаем! Преобразуем каждую дробь так, чтоб знаменатели стали схожими. Это называется приведём к общему знаменателю: Во как! Откуда же я вызнал про 63? Очень просто! 63 это число, которое нацело делится на 7 и 9 сразу. Такое число всегда можно получить перемножением знаменателей. Если мы какое-то число помножили на 7, к образцу, то результат уж точно на 7 делиться будет! Если надобно сложить (отнять) несколько дробей, нет нужды делать это попарно, по шагам. Просто надобно отыскать знаменатель, общий для всех дробей, и привести каждую дробь к этому самому знаменателю. Например: И какой же общий знаменатель будет? Можно, окончательно, перемножить 2, 4, 8, и 16. Получим 1024. Ужас. Проще прикинуть, что число 16 отлично делится и на 2, и на 4, и на 8. Как следует, из этих чисел просто получить 16. Это число и будет общим знаменателем. 1/2 превратим в 8/16, 3/4 в 12/16, ну и так дальше. Кстати, если за общий знаменатель взять 1024, тоже всё получится, в конце всё посокращается. Только до этого конца не все доберутся, из-за вычислений... Дорешайте уж пример самостоятельно. Не логарифм какой... Должно получиться 29/16. Итак, со сложением (вычитанием) дробей светло, полагаюсь? Окончательно, проще работать в сокращённом варианте, с дополнительными множителями. Но это наслаждение доступно тем, кто честно трудился в младших классах... И ничего не пренебрегал. А на данный момент мы поделаем те же самые деяния, но не с дробями, а с дробными выражениями. Здесь обнаружатся новые грабли, да... Итак, нам надобно сложить два дробных выражения: Надобно сделать знаменатели одинаковыми. Причём только с поддержкою умножения! Уж так главное свойство дроби приказывает. Потому я не могу в первой дроби в знаменателе к иксу прибавить единицу. (а вот бы хорошо было!). А вот если перемножить знаменатели, смотришь, всё и срастётся! Так и записываем, черту дроби, сверху пустопорожнее место оставим, позже допишем, а снизу пишем произведение знаменателей, чтобы не пренебрегать: И, окончательно, ничего в правой доли не перемножаем, скобки не открываем! А сейчас, глядя на общий знаменатель правой доли, соображаем: чтобы в первой дроби вышел знаменатель х(х+1), надобно числитель и знаменатель этой дроби умножить на (х+1). А во 2-ой дроби - на х. Получится вот что: Обратите внимание! Тут появились скобки! Это и есть те грабли, на которые многие наступают. Не скобки, конечно, а их неимение. Скобки возникают поэтому, что мы умножаем весь числитель и весь знаменатель! А не их отдельные куски... В числителе правой доли записываем сумму числителей, всё как в числовых дробях, потом раскрываем скобки в числителе