кусочек проволоки длиной 102 см необходимо разрезать на доли длиной 15

Пусть у нас получилось x долей по 15 см и y долей по 12 см.

15x + 12y = 102

Уравнение с 2-мя неизвестными, надо решить в натуральных числах.

Делим всё на 3

5x + 4y = 34

x = (34 - 4y)/5

Можно сразу рассмотреть решение y = 1, x = (34 - 4)/5 = 30/5 = 6.

Так как в знаменателе 5, то следующее целое решение будет через 5.

y = 1 + 5 = 6, x = (34 - 4*6)/5 = (34 - 24)/5 = 10/5 = 2

Очевидно, что иных натуральных решений нет.

Ответ: Два решения: 1) 6*15 + 1*12 = 90+12 = 102; 2) 2*15 + 6*12 = 30+72 = 102