В трапеции диагонали пересекаются в точке, через которую проведен отрезок, объединяющий

ABCD - трапеция; AD - нижнее основание; BC - верхнее основание; O - точка скрещения диагоналей. EF проходит через точку O и параллельно основаниям. MN проходит через точку O и перпендикулярно основаниям - вышина трапеции. EAB; FCD; MBC; NAD
Тр-к BOC сходственен тр-ку AOD. Отношение площадей подобных треугольников одинаково квадрату отношения соответствующих линейных размеров, т.е. сторон и высот. Означает, AD:BC=3^:1; MO:ON=1:3; MO:MN=1:4; 
Пусть BC=xAD=3x; MO=y;ON=3y; MN=4y
Площадь трапеции ABCD одинакова: S=1/2(AD+BC)*MO=1/2(x+3x)*4y=8xy
Выразим через S площади BEFC  и AEFD.
Площадь AEFD одинакова сумме площадей AOFD  и AEO.
Рассмотрим тр-ки ACD и OCF. Они сходственны. Их высоты относятся как 4:1, а площади как 16:1. Площадь ACD равна 1/2*3x*4y=6xy. Площадь OCF равна 1/16*6xy=3/8*xy. Площадь AOFD  равна разности площадей ACD и OCF:
6xy-3/8*xy=45/8*xy
Рассмотрим тр-ки ABC и AEO. Они сходственны. Их высоты относятся как 4:3, а площади как 16:9. Площадь ABC одинакова 1/2*x*4y=2xy. Площадь AEO одинакова 9/16*2xy=9/8*xy. Площадь AEFD  равна: 45/8*xy+9/8*xy=54/8*xy=27/4*xy
Площадь BEFC одинакова разности площадей ABCD и  AEFD:
8xy-27/4*xy=5/4*xy
S(BEFC): S(AEFD)=5/4*xy:27/4*xy=5:27