Не исполняя разделенья многочленов, отыскать  остаток  от деления многочлена P(x) yна

Так. Поначалу теорию. Хоть какой многочлен, имеющий корни, можно разложить на произведение вида (x-x1)(x-x2)...
где x1, x2 - корни.
Тогда если многочлен P(x) делится на разность (x-a), то P(a) = 0.
Если не делится, то
P(x) = (x-a)T(x) + R(x)
P(a) = (a-a)T(x) + R(x) = R(x)
Тогда остаток от дробления многочлен P(x) на (x-a) равен P(a). (этого достигнули обычный алгеброй)


Решение:
Q(x) = (x-2)(x+2)
остаток дробления должен быть степени ниже, чем Q(x).
Пусть R = kx + b.
Тогда остатки от дробленья P на x-2, на x+2 одинаковы остаткам от дробленья P на Q, при x = 2, -2 соответственно.
Док-во: 
Осмотрим остаток деления P на Q:
P(x) = T(x) * Q(x) + R(x)
при x = 2:
P(2) = T(2) * 0 + R(2) -gt; R(2)=k*2+b = P(2) = остаток от дробления P на (x-2)
P(-2) = T(-2) * 0 + R(-2) -gt; R(-2)=k*(-2)+b = P(-2) = остаток от разделения P на (x+2)
Как следует остатки от дробления P на (x-2), (x+2) принадлежат R(x)

Найдем R(x):
Тогда P(2) = 8, R(2) = 8
P(-2) = -76
k*2+b=8
k*(-2) +b=-76

k=(8-b)/2
(8-b)/2 * (-2) + b= -76

b-8+b=-76 =gt; 2b=-68 =gt; b= -34 =gt; k = 21
R(x) = 21x-34