Мистер Фокс сложил великой куб из схожих малюсеньких кубиков. Затем он

Всего есть 9 методов раскраски куба, дающих различное число некрашенных кубиков
С
1 крашенная грань, 
число крашенных кубиков К = N
Число некрашенных кубиков H = N-N
Попробуем
H = N-N = 45
Кубическое уравнение, аналитически решать нет желания, просто пробуем целые N
N=2 
8-4 = 4 малюсенько
N=3
27-9 = 18 малюсенько
N=4
64-16 = 48 много
Решений нет
С 
2 смежные крашенные грани
число крашенных кубиков К = N+N(N-1) = 2N-N
Число некрашенных кубиков H = N-2N+N
Попробуем
H = N-2N+N = 45
пробуем целые N
N=2 
8-8+2 = 2 малюсенько
N=3
27-18+3 = 12 малюсенько
N=4
64-32+4 = 36 малюсенько
N=5
125-50+5 = 80 много
Решений нет
С 
2 противоположные крашенные грани
число крашенных кубиков К = 2N
Число некрашенных кубиков H = N-2N
Попробуем
H = N-2N = 45
пробуем целые N
N=2 
8-8 = 0 мало
N=3
27-18 = 9 мало
N=4
64-32 = 32 малюсенько
N=5
125-50 = 75 много
Решений нет
С 
3 смежные крашенные грани
число крашенных кубиков К = N+N(N-1)+(N-1)(N-1) = 3N-1
Число некрашенных кубиков H = N-3N+1
Попробуем
H = N-3N+1 = 45
пробуем целые N
N=3
27-27+1 = 1 малюсенько
N=4
64-48+1 = 17 мало
N=5
125-75+1 = 51 много
Решений нет
С 
3 вразброс крашенные грани
число крашенных кубиков К = 2N+N(N-2) = 3N-2N
Число некрашенных кубиков H = N-3N+2N
Попробуем
H = N-3N+2N = 45
пробуем целые N
N=3
27-27+6 = 6 малюсенько
N=4
64-48+8 = 24 малюсенько
N=5
125-75+10 = 60 много
Решений нет
С 
4 крашенные грани, 2 пустышки смежные
число крашенных кубиков К = 2N+N(N-2)+(N-1)(N-2) = 4N-5N+2
Число некрашенных кубиков H = N-4N+5N-2
Попробуем
H = N-4N+5N-2 = 45
пробуем целые N
N=3
27-36+15-2 = 4 малюсенько
N=4
64-64+20-2 = 18 мало
N=5
125-100+25-2 = 48 много
Решений нет
С 
4 крашенные грани, 2 пустышки обратные 
число крашенных кубиков К = 4N(N-1) = 4N-4N
Число некрашенных кубиков H = N-4N+4N
Попробуем
H = N-4N+4N = 45
пробуем целые N
N=3
27-36+12 = 3 мало
N=4
64-64+16 = 16 мало
N=5
125-100+20 = 45 Попал!!!
N=6 
216-144+24=96 много
С 
5 крашенных граней
число крашенных кубиков К = N+4(N-1)(N-1) = 5N-8N+4
Число некрашенных кубиков H = N-5N+8N-4
Попробуем
H = N-5N+8N-4 = 45
пробуем целые N
N=3
27-45+24-4 = 2 малюсенько
N=4
64-80+32-4 = 12 малюсенько
N=5
125-125+40-4 = 36 малюсенько
N=6 
216-180+48-4=80 много
С 
6 крашенных граней
число крашенных кубиков К = 2N+4(N-1)(N-2) = 6N-12N+8
Число некрашенных кубиков H = N-6N+12N-8
Попробуем
H = N-6N+12N-8 = 45
пробуем целые N
N=4
64-96+48-8 = 8 мало
N=5
125-150+60-8 = 27 мало
N=6 
216-216+72-8=64 много
------------------------------
Всё!
Найдено единственное решение, куб состоит из 5=125 кубиков, раскраска такова, что две неокрашенные грани обратны.