В ряд выписаны естественные числа от 1 до некоторого n n

Пусть удалили число m, тогда осталось (n - 1) число, сумма оставшихся чисел 1 + 2 + ... + (m - 1) + (m + 1) + ... + n = n (n + 1) / 2 - m.
Эта сумма по условию одинакова 40 3/4 * (n - 1).

Так как в знаменателе у среднего арифметического 4, означает, (n - 1) делится на 4, чтоб сумма была целой. Пусть n - 1 = 4k, составляем уравнение:
(4k + 1) * (4k + 2) / 2 - m = 40 3/4 * 4k
(2k + 1) * (4k + 1) - m = 163k
m = 8k^2 - 157k + 1

Необходимо, чтоб было выполнено неравенство 1 lt;= m lt;= n + 1 = 4k + 2. Посчитаем, при каких k это будет так.

1-ое неравенство:
8k^2 - 157k + 1 gt;= 1
8k^2 - 157k gt;= 0
8k - 157 gt;= 0
k gt;= 157/8
k gt;= 20

2-ое неравенство:
8k^2 - 157k + 1 lt;= 4k + 2
8k^2 - 161k - 1 lt;= 0

Решать такое неравенство не охото, так что заметим, что оно выполнено для всех k от 1 до некого k0, и k0 найдём подбором.

k = 20: 8 * 400 - 161 * 20 - 1 = -21 lt;= 20
k = 21: 8 * 441 - 161 * 21 - 1 = 146 gt; 0

Второе неравенство выполнено при k lt;= 20.

Итак, 20 lt;= k lt;= 20, т.е. k = 20.
Тогда m = 8k^2 - 157k + 1 = 61.

Ответ: 61.