Найти приватное решение дифференциального уравнения,удовлетворяющее данным исходным условиям.

Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка

y+2y+2y=2x2+8x+6при заданных исходных критериях y(0)=1,y(0)=4

Метод решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка

1. Решаем однородное уравнение y+2y+2y=0
Решение будем разыскивать в виде y=ex, тогда y'=ex;y''=2ex. 
Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение 

2ex+2ex+2ex=0=gt;уменьшаем на ex, получаем характеристическое уравнение (это уравнение в последующий раз составим сходу без прошлых объяснений) 
2+2+2=0=gt; найдем корни характеристического уравнения 1,2=2482=gt;1=1i;2=1+i
Получили комплексно сопряженные корни, им подходят два решения y1(x)=excos(x);y2(x)=exsin(x)
Общее решение однородного уравнения будет линейная композиция yодн=C1excos(x)+C2exsin(x)

2. Решаем неоднородное уравнение y+2y+2y=2x2+8x+6
Найдем приватное решение неоднородного дифференциального уравнения, разыскиваем способом разновидности случайной переменной неизменной C1=C1(x);C2=C2(x) в виде yчаст(x)=C1(x)excos(x)+C2(x)exsin(x)(1). 

Для нахождения функций C1(x);C2(x), подставим результаты в систему с учетом 
y1(x)=(excos(x))=ex(cos(x)+sin(x))
y2(x)=(exsin(x))=ex(cos(x)sin(x))

C'1(x)y1(x)+C'2(x)y2(x)=0C'1(x)y'1(x)+C'2(x)y'2(x)=b(x)a0(x)получаем
C'1(x)excos(x)+C'2(x)exsin(x)=0C'1(x)(ex(cos(x)+sin(x)))+C'2(x)(ex(cos(x)sin(x)))=2x2+8x+6=gt;
C'1(x)cos(x)+C'2(x)sin(x)=0C'1(x)(cos(x)+sin(x))+C'2(x)(cos(x)sin(x))=(2x2+8x+6)ex
решаем систему уравнений способом Крамера и находим интегралы.
C1(x)=0(2x2+8x+6)exsin(x)cos(x)sin(x)cos(x)(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)sin(x)dx=
=sin(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx==sin(x)(2x2+8x+6)excos2(x)cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx==sin(x)(2x2+8x+6)exdx==ex((x2+4x+2)sin(x)x(x+2)cos(x))

C2(x)=cos(x) cos(x)+sin(x)0 (2x2+8x+6)ex cos(x)(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)sin(x)dx=
=cos(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx==cos(x)(2x2+8x+6)excos2(x)cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx==cos(x)(2x2+8x+6)exdx==ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x)) 

Подставляем итог в (1) и получаем приватное неоднородное решение дифференциального уравнения 

yчаст=  ex((x2+4x+2)sin(x)x(x+2)cos(x))excos(x)++ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x))exsin(x)=
=x(x+2)cos2(x)+x(x+2)sin2(x) = x2+2x    

3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида  yоб=yодн+yчаст 
подставляем результаты из п.1,п.2

yоб= C1excos(x)+C2exsin(x)+ x2+2x

4. Решаем задачку Коши при исходных критериях  y(0)=1,y(0)=4 
Обретаем значения констант при заданных исходных критериях Коши
Обретаем значение функции при условии y(0)=1

yоб(0)= C1excos(x)+C2exsin(x)+ x2+2x=1=gt; C1 =1
Обретаем производную y(x)
yоб= C1excos(x)+C2exsin(x)+ x2+2x==C1excos(x)C1exsin(x)C2exsin(x)+C2excos(x)+2x+2
при условии y(0)=4
yоб(0) =C1+C2+2=4
Сочиняем систему уравнений и решаем ееC1=1C1+C2=2=gt; C1=1C2=3 
Подставляем итог в п.3, получаем общее решение дифференциального уравнения при данных исходных критериях Коши
yоб=excos(x)+3exsin(x)+ x2+2x 
Ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальному условию Каши yоб=excos(x)+3exsin(x)+ x2+2x