На плоскости из одной точки отложено 18 лучей. Какое наибольшее количество

Тупой угол - это угол с градусной мерой больше 90 и меньше 180. Из одной точки можно пустить три луча, которые меж собой образуют 3 тупых угла.
Пустим 4-й луч поблизости 1-го из трёх лучей, у нас добавится дополнительно 2 тупых угла. 5-й луч пустим вблизи второго из числа первых трёх, дополнительно образуются 3 тупых угла. В конце концов, пускаем 6-й луч вблизи третьего, получив дополнительно 4 тупых угла. У нас будет получаться как бы три пучка недалеко расположенных лучей в каждом пучке.
Считаем сколько вышло тупых углов после добаления к первым трём лучам ещё трёх лучей. 3 луча было, плюс 2, плюс 3 и плюс 4, всего 12 лучей.
Итак, для 3-х лучей - 3 тупых угла; для 6 лучей - 12 тупых углов.
Рассуждаем аналогично, прибавляя по очереди ещё 3 луча. Добавятся сначало 4 угла, потом 5 и, наконец, 6; т.е. всего добавится 15 тупых углов. А всего для 9 лучей будет 27 тупых углов.
Точно также, считая для 12 лучей, получим дополнительно 6+7+8 = 21 тупых угла, а всего - 48.
Можно было бы и далее продолжать таким способом, но мы подмечаем закономерность.
Пусть а1 = 3 - это первый член последовательности. Используя предшествующее значение (рекуррентно), можно вычислить последующее значение по формуле:
, где n - число лучей кратное 3.
Пробуем вычислить по этой формуле:



Итак, из 18 лучей очень можно составить 108 тупых углов.