Пусть S(n) сумма цифр в десятичной записи числа n. Найдите

Итак, , а S(n) - это сумма цифр числа. Надобно четыре раза подряд отыскать сумму цифр чисел, т.е. S(S(S(S(n)))).

Понятно, что невозможно сделать десятичную запись числа .
Оценим, сколько  цифр м.б. в таком числе:



Итак,

Если все числа в числе будут 9, то их сумма будет не более, чем:

Вновь считаем суммы цифр. Пусть это будут девятки и их 5 штук, то сумма не м.б. больше, чем:

Наибольшая сумма цифр м.б. только у числа 39 и она одинакова 12 (у числа 45 сумма всего 9):

Наконец, прибываем к выводу, что сумма не м.б. больше 9 (у числа 12 сумма цифр одинакова 3):


Из всего выше изложенного стало светло, что если в нашем числе . четыре раза попорядку просуммировать числа, то результат не будет превосходить 9!

Вроде бы ничего это нам не отдала. Но вспомним аксиому об остатках при делении на 3 (или на 9). Остаток от деления числа на 3 (либо на 9) равен остатку от деления на 3 (либо на 9) его суммы цифр. Признак делимости на 3 (либо на 9) в общем виде.
Теперь, зная это, мы можем найти остаток от разделения числа на 9, тем самым мы узнаем, какой остаток будет от разделенья суммы цифр на 9. А это и будет ответ.

Представим число 2018 = 2016 + 2, как сумму двойки и числа 2016, которое делится на 9 без остатка. Потом (2016 + 2) возведём в степень 2017 и распишем итог в виде двучлена Ньютона.

Все слагаемые, не считая последнего , делятся на 9 без остатка (туда входит число 2016).

Преобразуем число , чтобы появилась 9, потом разложим по формуле двучлена Ньютона:


В полученной сумме все слагаемые, кроме последнего, делятся на 9. А последнее слагаемой и есть остаток, и он равен 2.
Т.о. разыскиваемая сумма цифр одинакова:


Ответ: 2